Решение квадратных уравнений: способы и примеры
Квадратные уравнения - уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю. Их решение через дискриминант, по теореме Виета и методом разложения на множители изучают в 8 классе, а потом применяют в алгебре, геометрии и физике до конца школы. Ниже - формулы, алгоритм выбора способа, разобранные примеры и задачи с ответами.
Содержание статьи
Что такое квадратное уравнение
В записи ax² + bx + c = 0 буквы a, b и c - коэффициенты. Число a называют старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, c - свободным членом. Условие a ≠ 0 обязательно: при a = 0 слагаемое с x² пропадает, и получается линейное уравнение.
Корень уравнения - число, при подстановке которого вместо x получается верное равенство. Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их нет.
| Вид | Условие | Пример | Особенность |
|---|---|---|---|
Полное | b ≠ 0 и c ≠ 0 | 2x² + 3x - 2 = 0 | Решается через дискриминант |
Приведённое | a = 1 | x² - 5x + 6 = 0 | Подходит теорема Виета |
Неполное | b = 0 или c = 0 | 3x² - 12 = 0 | Решается без дискриминанта |
Биквадратное | Содержит x⁴ и x² | x⁴ - 5x² + 4 = 0 | Замена t = x² |
Решение через дискриминант
Дискриминант - число, по которому сразу видно, сколько у уравнения корней. Он вычисляется по формуле D = b² - 4ac.
- Если D больше нуля, уравнение имеет два различных корня: x = (-b + √D) / (2a) и x = (-b - √D) / (2a).
- Если D равен нулю, корень один: x = -b / (2a).
- Если D меньше нуля, действительных корней нет.
Порядок решения всегда одинаков: привести уравнение к виду ax² + bx + c = 0, выписать a, b, c с их знаками, найти D, подставить в формулу корней и сделать проверку.
Три случая на примерах
Пример 1. Решите x² - 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = -5, c = 6. D = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1. Корни: x = (5 + 1) / 2 = 3 и x = (5 - 1) / 2 = 2. Ответ: 2; 3.
Пример 2. Решите 2x² + 3x - 2 = 0. Коэффициенты: a = 2, b = 3, c = -2. D = 9 - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25. Корни: x = (-3 + 5) / 4 = 0,5 и x = (-3 - 5) / 4 = -2. Ответ: -2; 0,5.
Пример 3. Решите x² - 6x + 9 = 0. D = 36 - 36 = 0, корень один: x = 6 / 2 = 3. Ответ: 3.
Если D отрицательный, как в уравнении x² + 2x + 5 = 0 (D = 4 - 20 = -16), корней нет. Так и пишут: "Действительных корней нет".
Знак минус перед b меняет знак числа: если b = -5, то -b = 5. Именно здесь чаще всего теряют баллы на контрольных.
Формула для чётного второго коэффициента
Если b чётное, удобно использовать k = b/2. Тогда D₁ = k² - ac, а корни находятся по формуле x = (-k ± √D₁) / a. Числа получаются меньше, поэтому меньше шансов ошибиться.
Пример: x² - 6x + 5 = 0. Здесь k = -3, D₁ = 9 - 5 = 4, x = 3 ± 2, то есть 1 и 5. Ещё пример: 3x² - 8x + 5 = 0, k = -4, D₁ = 16 - 15 = 1, x = (4 ± 1) / 3, то есть 1 и 5/3.
Для вычисления корней нужно уверенно извлекать квадратные корни и знать квадраты чисел. Подготовиться помогут страница про извлечение квадратного корня и таблица квадратов от 1 до 25.
Неполные квадратные уравнения
Если b или c равны нулю, дискриминант не нужен. Каждый вид неполного уравнения решается своим приёмом.
| Вид | Способ | Пример | Ответ |
|---|---|---|---|
ax² = 0 | x² = 0 | 7x² = 0 | x = 0 |
ax² + c = 0 | x² = -c/a, извлекаем корень | 3x² - 12 = 0 | x = 2 или x = -2 |
ax² + c = 0, где -c/a меньше 0 | Квадрат не бывает отрицательным | x² + 9 = 0 | Корней нет |
ax² + bx = 0 | Выносим x за скобки: x(ax + b) = 0 | 5x² - 15x = 0 | x = 0 или x = 3 |
Типичная ошибка: в уравнении x² = 9 записывают только x = 3. Корней два: 3 и -3. В уравнении x² - 5x = 0 нельзя делить обе части на x, потому что потеряется корень x = 0.
Теорема Виета
Теорема Виета связывает корни с коэффициентами. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна -p, а произведение равно q. Для общего уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна -b/a, а произведение c/a.
Практическая польза - подбор корней устно. Уравнение x² - 7x + 10 = 0: сумма равна 7, произведение 10, значит, корни 2 и 5. Уравнение x² + x - 12 = 0: сумма -1, произведение -12, подходят 3 и -4. Подробное доказательство и дополнительные примеры вы найдёте на странице о теореме Виета.
Работает и обратная теорема: если числа удовлетворяют условиям суммы и произведения, они - корни. С её помощью можно составить уравнение по корням. Например, для корней 4 и -1 сумма равна 3, произведение -4, уравнение x² - 3x - 4 = 0. Теорема Виета удобна, когда дискриминант получается громоздким, но корни целые. Если подобрать корни не удаётся за полминуты, переходите к дискриминанту.
Биквадратные уравнения и разложение на множители
Биквадратное уравнение имеет вид ax⁴ + bx² + c = 0. Замена t = x² превращает его в квадратное относительно t. Затем возвращаются к x и не забывают, что t не может быть отрицательным.
Пример. x⁴ - 5x² + 4 = 0. Пусть t = x², тогда t² - 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4. Возвращаемся: x² = 1 даёт x = ±1, x² = 4 даёт x = ±2. Ответ: -2; -1; 1; 2. Если же t получается отрицательным, как в уравнении x⁴ + x² - 6 = 0 (t = 2 и t = -3), значение t = -3 отбрасывается, и остаётся x = ±√2.
Если корни x₁ и x₂ найдены, квадратный трёхчлен раскладывается на множители: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂). Например, x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Это нужно при сокращении дробей и решении неравенств.
Графический смысл корней
График функции y = ax² + bx + c - парабола. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox. Если D больше нуля, парабола пересекает ось в двух точках, при D = 0 касается её в одной точке (вершине), при D меньше нуля ось не пересекает. Абсцисса вершины находится по формуле x₀ = -b / (2a). Такая связь пригодится в задачах на наибольшее и наименьшее значение и в теме квадратичной функции.
Задачи, приводящие к квадратным уравнениям
Составление уравнения по тексту задачи - частое задание на ОГЭ и в 8-9 классах. Рассмотрим три типа.
- Числа. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 156. Найдите числа. Пусть меньшее число n, тогда n(n + 1) = 156, n² + n - 156 = 0, D = 1 + 624 = 625, n = (-1 + 25) / 2 = 12. Числа 12 и 13.
- Геометрия. Периметр прямоугольника 28 см, площадь 48 см². Найдите стороны. Полупериметр 14, поэтому стороны - корни уравнения x² - 14x + 48 = 0. D = 196 - 192 = 4, x = (14 ± 2) / 2, то есть 8 см и 6 см. Для задач с прямоугольными треугольниками пригодится теорема Пифагора.
- Параметр. При каком значении k уравнение x² - 4x + k = 0 имеет один корень? Условие D = 0: 16 - 4k = 0, k = 4. Два корня при k меньше 4, нет корней при k больше 4.
Не всегда уравнение дано в стандартном виде. Уравнение (x - 2)(x + 3) = 6 нужно сначала раскрыть: x² + x - 6 = 6, затем перенести 6: x² + x - 12 = 0. Корни 3 и -4 находятся по теореме Виета. Страх перед этой темой чаще всего связан не со сложностью формул, а с вычислительными ошибками, и как с этим бороться, описано на странице про математику без страха.
Типичные ошибки
- Не приводят уравнение к стандартному виду и берут неверные коэффициенты.
- Теряют знак у b или c, а при b = -5 считают b² равным -25: на самом деле (-5)² = 25.
- В формуле корней делят только на a вместо 2a.
- Не проверяют условие a ≠ 0.
- В уравнении x² = 9 пишут один корень.
- Делят обе части на x и теряют корень x = 0.
- Считают, что при D меньше нуля корни есть, хотя в школьной алгебре их нет.
Проверка - главный инструмент самоконтроля. Подставьте найденные корни в исходное уравнение или проверьте их по теореме Виета: сумма и произведение должны совпасть с коэффициентами.
Частые вопросы
Что такое дискриминант и зачем он нужен?
Дискриминант D = b² - 4ac показывает, сколько у квадратного уравнения корней и позволяет найти их по формуле. Если D положительный, корней два, если нулевой - один, если отрицательный - действительных корней нет.
Когда удобнее использовать теорему Виета?
Когда уравнение приведённое и корни целые: подбираем два числа с нужной суммой и произведением. Если корни дробные или иррациональные, надёжнее дискриминант.
Как решать неполные квадратные уравнения?
Если c = 0, выносим x за скобки: x(ax + b) = 0. Если b = 0, переносим c и извлекаем корень из x². Дискриминант для таких уравнений не нужен.
Может ли у квадратного уравнения быть один корень?
Да, при D = 0. Строго говоря, у уравнения два совпадающих корня, но в школе принято говорить, что корень один.
В каком классе изучают квадратные уравнения?
В 8 классе курса алгебры. В 9 классе тема повторяется и применяется к квадратичной функции, неравенствам и задачам на ОГЭ.
