Решение пропорций и правило креста с примерами

Обновлено: 04.11.2026

Решение пропорций крест-накрест сводится к одному действию: произведение крайних членов равно произведению средних. Так находят неизвестное в задачах на проценты, цены, скорость и масштаб, а то же правило помогает с дробными уравнениями и со смешиванием растворов в химии. Ниже все способы по порядку, с проверенными примерами.

Что такое пропорция и как она записывается

Пропорция - это равенство двух отношений: a : b = c : d, или a/b = c/d. Читается так: "a относится к b, как c относится к d". Числа a и d стоят по краям записи и называются крайними членами, числа b и c расположены в середине и называются средними.

Пример: 1 : 10 = 7 : 70. Одна десятая и семь семидесятых - это одно и то же число, поэтому равенство верно. Проверка простая: 1 · 70 = 70 и 10 · 7 = 70.

Основное свойство пропорции

Если a : b = c : d, то a · d = b · c. По-другому: произведение крайних членов равно произведению средних. Это и есть правило креста: числа соединяют по диагоналям и перемножают.

Свойство работает в обе стороны. Если произведения диагоналей равны (и знаменатели не нули), значит, перед вами верная пропорция. Так можно быстро проверить, равны ли две дроби, не приводя их к общему знаменателю: 6/8 и 9/12 дают 6 · 12 = 72 и 8 · 9 = 72, дроби равны.

Другие свойства, которые экономят время

Из одной пропорции можно получить несколько новых, не меняя ответа. Все они вытекают из основного свойства.

На примере 1 : 10 = 7 : 70 это выглядит так: 10 : 1 = 70 : 7, или 1 : 7 = 10 : 70, или 70 : 10 = 7 : 1. Каждое равенство верно, в чём легко убедиться перемножением по диагонали.

Как решить пропорцию с неизвестным

Пусть неизвестное - x. Тогда алгоритм такой: перемножьте два известных числа, которые стоят по диагонали, и разделите на третье, стоящее напротив x. Всё остальное - арифметика.

1. Запишите пропорцию так, чтобы одинаковые величины стояли на одних местах (рубли над рублями, килограммы над килограммами).
2. Найдите диагональ, где нет x, и перемножьте её числа.
3. Разделите произведение на число, которое стоит рядом с x по другую диагональ.
4. Подставьте ответ в исходную пропорцию и проверьте, не получилось ли нелепое значение.

Для 1 : 10 = x : 70 получаем x = 1 · 70 : 10 = 7. Когда икс стоит в знаменателе, например 4/x = 12/9, схема та же: x = 4 · 9 : 12 = 3.

Пошаговые примеры

Задача 1. Дозировка активированного угля - 1 таблетка на 10 кг веса. Сколько таблеток для человека в 70 кг? Составляем: 1 таблетка относится к 10 кг, как x таблеток к 70 кг. Тогда x = 1 · 70 : 10 = 7 таблеток.

Задача 2. За 5 часов набирают 2 статьи. Сколько статей наберут за 20 часов? x = 2 · 20 : 5 = 8 статей.

Задача 3. Автомобилист заправил 5 литров бензина за 150 рублей. Сколько стоят 30 литров? Строки "5 л - 150 руб." и "30 л - x руб." дают x = 150 · 30 : 5 = 900 рублей. Если бы получилось 90 или 9000, стоило бы пересмотреть запись: цена 30 литров должна быть ровно в шесть раз больше цены пяти.

Задача 4. На карте масштаб 1 : 50 000, расстояние между городами - 3,2 см. Пишем: 1 см на карте - 50 000 см на местности; 3,2 см - x. Получаем x = 160 000 см, то есть 1,6 км.

Пропорции и проценты

Любую задачу на проценты можно решить через пропорцию, если помнить, что целое равно 100 %. Это самый удобный способ для тех, кто не любит запоминать отдельные формулы; подробнее о разных приёмах расчёта читайте на странице как найти процент от числа.

Найти процент от числа

Сколько составляют 15 % от 240? Записываем: 240 - это 100 %, x - это 15 %. Значит, x = 240 · 15 : 100 = 36.

Найти число по его проценту

45 - это 30 % некоторого числа. Найдите это число. Пишем: x - 100 %, 45 - 30 %. Тогда x = 45 · 100 : 30 = 150.

Узнать, сколько процентов одно число составляет от другого

В классе 28 человек, из них 7 - отличники. Какой процент это составляет? 28 человек - 100 %, 7 человек - x %. Получаем x = 7 · 100 : 28 = 25 %.

Если проценты удобно сокращаются, переведите их в дробь сразу: 95 % это 95/100 = 19/20, и числа в расчёте станут проще. Ту же идею используют, когда считают удельный вес в долях, об этом рассказывает материал как узнать удельный вес в процентах.

Прямая и обратная пропорциональность

Не каждая задача решается "в лоб". Прежде чем писать пропорцию, определите, как связаны величины.

Пример обратной связи: 6 рабочих делают ремонт за 12 дней. За сколько дней его сделают 9 рабочих при той же производительности? Людей стало больше в 1,5 раза, значит, времени понадобится меньше. Записываем 6 : 9 = x : 12, откуда x = 6 · 12 : 9 = 8 дней. Если же ошибиться и записать "по прямой", получится 18 дней, то есть больше исходного срока, а это явное противоречие здравому смыслу.

Две неизвестные в одной пропорции без дополнительного условия не найти: уравнение с x и y имеет бесконечно много решений. Ищите в задаче ещё одно данное.

Рациональные уравнения: когда подходит крест-накрест

Рациональное уравнение содержит дроби, в числителе или знаменателе которых стоит переменная. Есть два основных приёма: умножение крест-накрест и приведение к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Крест-накрест выбирают, когда после переноса слагаемых слева и справа остаётся по одной дроби.

Умножение крест-накрест

Решим (x + 3)/4 - x/2 = 0. Переносим вторую дробь вправо: (x + 3)/4 = x/2. Перемножаем по диагонали: 2(x + 3) = 4x, то есть 2x + 6 = 4x, откуда x = 3. Подстановка: 6/4 - 3/2 = 0, ответ верен.

Ещё один пример: (x + 2)/(x - 1) = (x - 3)/(x + 4). Получаем (x + 2)(x + 4) = (x - 3)(x - 1), то есть x² + 6x + 8 = x² - 4x + 3. Квадраты сокращаются, остаётся 10x = -5, x = -0,5.

Область допустимых значений и посторонние корни

Перед решением запишите, при каких x знаменатели не равны нулю. Возьмём x/(x - 3) = 3/(x - 3). Крест-накрест: x(x - 3) = 3(x - 3), откуда (x - 3)² = 0 и x = 3. Но при x = 3 знаменатель обращается в нуль, поэтому корень посторонний и у уравнения решений нет. Эта проверка отличает верное решение от того, за которое снимают баллы. Для уравнений с квадратом пригодится страница квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета.

Наименьший общий знаменатель

Если дробей три и больше, перекрёстное умножение неудобно. Тогда находят НОЗ - наименьшее выражение, которое делится на каждый знаменатель, и умножают на него обе части уравнения.

• Решим x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6. НОЗ равен 6. После умножения: 2x + 3 = 3x + 1, откуда x = 2.
• Для x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 общий знаменатель 72 (меньше нельзя, так как 8 и 9 взаимно просты, а 6 делит 72). Умножаем: 9x + 24 = 8x - 24, значит, x = -48.
• Если переменная стоит в знаменателе: 5/(x - 1) = 1/x + 2/(3x). НОЗ равен 3x(x - 1), причём x не равен 0 и 1. Умножаем обе части: 15x = 3(x - 1) + 2(x - 1) = 5x - 5. Тогда 10x = -5 и x = -0,5. Значение допустимо, подстановка подтверждает ответ: слева -10/3, справа -2 - 4/3 = -10/3.

Если уравнение вида a/b = c/d содержит дополнительные слагаемые, сначала приведите его к такому виду, а уже потом используйте крест. Линейные уравнения без дробей разобраны на странице как решать линейное уравнение с одной переменной.

Правило креста в химии: задачи на растворы

Школьный курс химии почти не касается способов расчёта концентрации, зато на олимпиадах и в лабораторной практике они нужны постоянно. Правило креста, его ещё называют диагональной схемой или "конвертом Пирсона", позволяет быстро ответить, в каком соотношении смешать два раствора, чтобы получить заданную концентрацию.

Откуда берётся схема

Пусть смешивают массу m₁ раствора с массовой долей w₁ и массу m₂ раствора с долей w₂, а получают смесь с долей w₃. Масса вещества не теряется, поэтому m₁w₁ + m₂w₂ = w₃(m₁ + m₂). Преобразуем: m₁(w₁ - w₃) = m₂(w₃ - w₂), откуда m₁ : m₂ = (w₃ - w₂) : (w₁ - w₃).

На практике рисуют крест. Слева записывают концентрации исходных растворов (большую сверху, меньшую снизу), в центре - нужную концентрацию. Затем вычитают по диагонали из большего числа меньшее. Результат у каждого раствора показывает, сколько "частей" его нужно взять.

Нужная концентрация обязательно лежит между концентрациями исходных растворов. Если это не так, смешением задачу не решить, потребуется разбавление или упаривание.

Разбор шести задач

Задача 1 (три способа). Слили 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов соли. Какова концентрация смеси?

Способ через массы: в первом растворе 150 · 0,30 = 45 г соли, во втором 250 · 0,10 = 25 г, всего 70 г в 400 г раствора. Тогда w = 70 : 400 = 17,5 %. Формульный способ даёт то же: (150 · 30 + 250 · 10) / 400 = 17,5 %. Через крест: (w - 10)/(30 - w) = 150/250, откуда 250(w - 10) = 150(30 - w) и w = 17,5 %.

Задача 2. Сколько взять 10%-го и 30%-го растворов для 500 г 20%-го? Диагонали: 30 - 20 = 10 и 20 - 10 = 10, то есть соотношение 1 : 1. Одна часть - 500 : 20 = 25 г, и растворов нужно по 250 г. Проверка: соли 25 + 75 = 100 г, а 100 : 500 = 20 %.

Задача 3. Из 60%-го и 10%-го растворов нужно получить 300 г 25%-го. Диагонали: 25 - 10 = 15 частей крепкого и 60 - 25 = 35 частей слабого, всего 50 частей. Одна часть равна 300 : 50 = 6 г, поэтому берём 90 г 60%-го и 210 г 10%-го. Проверка: 54 + 21 = 75 г соли, и 75 : 300 = 25 %.

Задача 4. Какие массы 10%-го раствора Na₂CO₃ и кристаллогидрата Na₂CO₃ · 10H₂O нужны для 540 г 15%-го раствора? Прямой путь - система двух уравнений, надёжная, но громоздкая. Крест короче: кристаллогидрат считают "раствором" с долей безводной соли 106/286 ≈ 37 % (молярная масса соды 106 г/моль, гидрата 286 г/моль).

Диагонали: 37 - 15 = 22 части 10%-го раствора и 15 - 10 = 5 частей гидрата, всего 27 частей. На одну часть приходится 540 : 27 = 20 г. Отсюда 440 г раствора и 100 г кристаллогидрата.

Задача 5 (разбавление водой). Сколько воды добавить к 250 г 45%-го раствора, чтобы получить 10%-й? Вода - это "раствор" с долей 0 %. Диагонали: 10 - 0 = 10 частей исходного раствора и 45 - 10 = 35 частей воды. Одна часть - 250 : 10 = 25 г, воды нужно 25 · 35 = 875 г. Контроль: соли 112,5 г в растворе массой 1125 г, это ровно 10 %.

Задача 6 (добавление сухого вещества). Сколько сухой соли добавить к 250 г 10%-го раствора, чтобы довести его до 45 %? Сухая соль - "раствор" со стопроцентной долей. Диагонали: 100 - 45 = 55 частей исходного раствора и 45 - 10 = 35 частей соли. Одна часть - 250 : 55 ≈ 4,545 г, соли нужно примерно 159 г (4,545 · 35 ≈ 159,1). Проверка: 25 + 159,1 = 184,1 г соли в 409,1 г раствора, то есть 45 %.

Частые ошибки

• Разные единицы в одной пропорции: граммы сверху и килограммы снизу. Сначала приведите всё к одной единице.
• Перепутанный порядок: если слева "рубли / литры", справа тоже "рубли / литры", а не наоборот.
• Не замечена обратная пропорциональность (задачи на работу, скорость и время).
• В уравнениях с дробями не записана область допустимых значений, и в ответ попадает корень, обращающий знаменатель в нуль.
• Потеряны скобки: (x + 2)(x + 4) нельзя заменять на x + 2 · x + 4.
• Для растворов: нужная концентрация взята вне промежутка между исходными, или разности по диагонали вычтены "наоборот" и получились отрицательные части.

Задания для самопроверки

1. Решите 5 : 8 = x : 24.
2. Из 4 кг яблок получают 3 л сока. Сколько литров получится из 14 кг?
3. Найдите число, 12 % которого равны 30.
4. 3 насоса откачивают воду за 10 часов. За сколько часов справятся 5 таких насосов?
5. Решите уравнение (2x - 1)/3 = (x + 4)/5.
6. Сколько воды нужно добавить к 200 г 20%-го раствора, чтобы получить 8%-й?

Ответы: 1) x = 15; 2) 10,5 л; 3) 250; 4) 6 часов; 5) 5(2x - 1) = 3(x + 4), 7x = 17, x = 17/7; 6) диагонали 8 - 0 = 8 и 20 - 8 = 12, одна часть 200 : 8 = 25 г, воды 300 г. Если захочется потренироваться на задачах с двумя переменными, посмотрите страницу про уравнения и неравенства с двумя переменными.

Частые вопросы

Как решить пропорцию крест-накрест?

Перемножьте числа по диагонали, где нет икса, и разделите результат на число, стоящее по другой диагонали рядом с иксом. Например, из 3 : 5 = x : 20 получаем x = 3 · 20 : 5 = 12.

Можно ли решить пропорцию с двумя неизвестными?

Одну пропорцию с двумя неизвестными однозначно решить нельзя: подойдёт множество пар чисел. Нужно второе условие, например сумма или разность величин, тогда получается система уравнений.

Как решить пропорцию с процентами?

Примите целое за 100 % и запишите, какая величина соответствует известному проценту. Остаётся перемножить по диагонали и разделить. Так вычисляют и процент от числа, и число по проценту.

В чём разница между прямой и обратной пропорцией?

При прямой связи величины растут или убывают вместе, при обратной - одна растёт, а другая убывает во столько же раз. В обратной задаче одно из отношений нужно перевернуть, иначе ответ получится нелепым.

Как работает правило креста в химии?

Слева записывают концентрации двух исходных растворов, посередине - нужную. Разности по диагонали показывают, сколько частей каждого раствора взять. Воду принимают за раствор 0 %, сухое вещество за раствор 100 %.

Когда вместо креста лучше применять общий знаменатель?

Если в уравнении три и более дробей или слева и справа остаётся больше одного слагаемого. Тогда обе части умножают на НОЗ, знаменатели исчезают, и остаётся обычное уравнение.