Таблица синусов, косинусов и тангенсов основных углов
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0, 30, 45, 60 и 90 градусов нужна почти в каждой задаче по геометрии и тригонометрии с 8 по 11 класс. Ее не обязательно зубрить: достаточно понять одну закономерность и пару приемов, и все числа восстанавливаются за несколько секунд.
Содержание статьи
Основная таблица значений синуса, косинуса и тангенса
Это минимум, который нужно помнить наизусть к контрольной по геометрии в 8 классе. Все значения относятся к острым углам прямоугольного треугольника и к первой четверти единичной окружности. В скобках дан тот же угол в радианах.
| Угол | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
0° (0) | 0 | 1 | 0 |
30° (π/6) | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 |
60° (π/3) | √3/2 | 1/2 | √3 |
90° (π/2) | 1 | 0 | не существует |
Котангенс считается как величина, обратная тангенсу: ctg α = cos α / sin α. Поэтому ctg 30° = √3, ctg 45° = 1, ctg 60° = √3/3, ctg 90° = 0, а при 0° котангенс не существует (деление на ноль). Секанс и косеканс в школьной программе встречаются редко, их значения получаются как 1/cos и 1/sin.
Тангенс 90° и котангенс 0° не "бесконечность" в строгом смысле, а просто не определены. На экзамене пишите "не существует", а знак бесконечности оставьте для пределов.
Как запомнить таблицу синусов и косинусов
Есть три надежных способа: закономерность с корнями, метод ладони и опора на два эталонных треугольника. Выберите тот, что ближе вам.
Правило корней от 0 до 4
Синус угла 0°, 30°, 45°, 60°, 90° равен корню из числа 0, 1, 2, 3, 4, деленному на 2. Запишите подряд: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Упростите: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Это и есть строка синусов.
Косинус идет в обратном порядке. Так как cos α = sin(90° - α), строка косинусов - та же последовательность, прочитанная справа налево: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0. Запоминать приходится одну строку вместо двух.
Метод ладони
Растопырьте пальцы левой руки ладонью к себе и назначьте им углы: мизинцу 0°, безымянному 30°, среднему 45°, указательному 60°, большому 90°. Чтобы найти синус угла, загните нужный палец и посчитайте пальцы ниже него (в сторону мизинца): их количество - число под корнем, а делить надо на 2. Для косинуса считайте пальцы выше загнутого. Проверка: у 30° ниже один палец, значит sin 30° = √1/2 = 1/2, а выше три, значит cos 30° = √3/2. Метод странный на вид, но выручает на контрольной, когда формула вылетела из головы.
Тангенс из синуса и косинуса
Таблицу тангенсов отдельно учить не нужно: tg α = sin α / cos α. Для 30° это (1/2) : (√3/2) = 1/√3 = √3/3. Для 60° наоборот, (√3/2) : (1/2) = √3. Если помните, что tg 45° = 1 (синус и косинус равны), остальное считается за одно действие.
Опора на два треугольника
Значения для 30°, 45° и 60° вытекают из двух "эталонных" треугольников, и их можно нарисовать по памяти за полминуты.
- Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1. По теореме Пифагора гипотенуза равна √2, поэтому sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2, tg 45° = 1.
- Равносторонний треугольник со стороной 2, разрезанный высотой пополам. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 2, катетами 1 и √3 и углами 30°, 60°, 90°. Отсюда sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = 1/√3.
Определения напомним: в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус - прилежащего катета к гипотенузе, тангенс - противолежащего к прилежащему.
Значения для углов от 90 до 360 градусов
В 9-10 классе углы выходят за пределы первой четверти, и таблица расширяется. Числа остаются теми же самыми, меняются только знаки. Ниже самые частые углы второй, третьей и четвертой четвертей.
| Угол | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
120° (2π/3) | √3/2 | -1/2 | -√3 |
135° (3π/4) | √2/2 | -√2/2 | -1 |
150° (5π/6) | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 |
180° (π) | 0 | -1 | 0 |
270° (3π/2) | -1 | 0 | не существует |
360° (2π) | 0 | 1 | 0 |
Знаки по четвертям
Для единичной окружности синус - это ордината точки, косинус - абсцисса. Отсюда знаки.
| Четверть | sin | cos | tg и ctg |
|---|---|---|---|
I (0°-90°) | + | + | + |
II (90°-180°) | + | - | - |
III (180°-270°) | - | - | + |
IV (270°-360°) | - | + | - |
Формулы приведения без зубрежки
Чтобы найти значение для угла вида 180° - α, 180° + α или 360° - α, нужно сделать два шага. Сначала определить знак по четверти, затем взять значение той же функции для острого угла α. Если угол записан через 90° или 270° (например, 90° + α), функция меняется на "сестринскую": синус на косинус, тангенс на котангенс.
Пример: sin 150° = sin(180° - 30°). Угол во второй четверти, синус там положительный, функция не меняется, значит sin 150° = sin 30° = 1/2. Пример с заменой: cos 120° = cos(90° + 30°). Вторая четверть, косинус отрицателен, функция меняется на синус: cos 120° = -sin 30° = -1/2.
Радианы и градусы: быстрый перевод
Полный оборот равен 360° или 2π радиан, значит 180° = π. Чтобы перевести градусы в радианы, умножайте на π/180, а обратно - на 180/π. Для шкалы из таблицы достаточно помнить: 30° - это π/6, 45° - π/4, 60° - π/3, 90° - π/2, а дальше углы складываются из этих долей. Например, 150° - это 5 раз по 30°, то есть 5π/6.
Если вы путаетесь, считайте, что π "сидит" вместо 180°. Угол 45° - это четверть от 180°, значит π/4. Угол 120° - две трети от 180°, значит 2π/3. Подробнее о длине дуги и радиусе окружности можно прочитать на странице про длину окружности.
Примеры и задачи с ответами
Попробуйте решить каждую задачу самостоятельно, прежде чем смотреть решение.
Вычислить значение выражения
Найдите значение выражения 2sin 30° + cos 60° - tg 45°.
Решение: 2 · (1/2) + 1/2 - 1 = 1 + 0,5 - 1 = 0,5. Ответ: 1/2.
Стороны прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, один из острых углов равен 30°. Найдите катеты.
Решение: катет против угла 30° равен 10 · sin 30° = 5. Второй катет равен 10 · cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3. Проверка: 25 + 75 = 100, как и должно быть по теореме Пифагора.
Выражение с отрицательным значением
Вычислите sin 135° · cos 135° + tg 120°.
Решение: sin 135° = √2/2, cos 135° = -√2/2, их произведение равно -2/4 = -1/2. tg 120° = -√3. Итого -1/2 - √3. Ответ: -(1/2 + √3).
Нужный угол по значению
Найдите острый угол, для которого cos α = √3/2.
Решение: в строке косинусов значение √3/2 стоит у угла 30°. Ответ: 30°, то есть π/6. Если угол ищут на промежутке до 360°, добавится второй корень: 330°, где косинус тоже положителен. Такие обратные задачи подробно разбираются в теме обратных тригонометрических функций.
Типичные ошибки
- Путают местами синус и косинус 30° и 60°. Проверка: чем больше острый угол, тем больше синус, поэтому у 60° синус больше, а у 30° косинус больше.
- Записывают tg 30° = 1/2 или √3/2 вместо √3/3. Тангенс считается как отношение, а не берется из строки синусов.
- Забывают знак для углов второй и третьей четвертей: cos 150° записывают положительным.
- Не избавляются от иррациональности в знаменателе: 1/√3 в ответе принято записывать как √3/3.
- Подставляют градусы в калькулятор, который работает в радианах (и наоборот). Перед вычислением смотрите на режим DEG/RAD.
Где пригодится таблица дальше
Значения из таблицы нужны при решении простейших уравнений sin x = 1/2 или cos x = -√2/2, при расчетах в физике (разложение силы по осям, наклонная плоскость), при вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу. Основные соотношения между функциями собраны на странице основных тригонометрических формул, а способы решения уравнений - в материале о решении тригонометрических уравнений заменой переменной. Уравнения, которые сводятся к квадратным, удобно держать рядом с разбором квадратных уравнений.
Практический совет: переписывайте таблицу от руки раз в день три-четыре дня подряд, каждый раз закрывая предыдущий вариант. К пятому разу значения "садятся" в память надолго, и дальше они уже не требуют усилий.
Частые вопросы
Как быстро выучить таблицу синусов и косинусов?
Запомните строку синусов как корни из 0, 1, 2, 3, 4, поделенные на 2. Косинусы - та же строка наоборот. На это уходит несколько минут, а само запоминание закрепляется письменным воспроизведением.
Чему равен тангенс 90 градусов?
Тангенс 90° не существует, так как cos 90° = 0, а на ноль делить нельзя. Тангенс бесконечно растет при приближении угла к 90°, но самого значения в точке нет.
Почему sin 45° и cos 45° равны?
Прямоугольный треугольник с углом 45° равнобедренный: катеты равны, поэтому их отношения к гипотенузе одинаковы. Оба значения равны √2/2, примерно 0,707.
Нужно ли учить таблицу Брадиса?
Для школьных экзаменов нет: в заданиях используются табличные значения (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) или калькулятор там, где он разрешен. Таблица Брадиса остается справочным материалом для значений других углов.
Как найти значение для 150 градусов?
Представьте угол как 180° - 30°. Синус во второй четверти положителен, косинус и тангенс отрицательны, а числа берутся от 30°: sin 150° = 1/2, cos 150° = -√3/2, tg 150° = -√3/3.
