Признаки делимости: правила, примеры и задачи

Обновлено: 01.11.2026

Признаки делимости позволяют понять, делится ли число на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 или 11, не выполняя деления. Для каждого делителя есть короткое правило: смотрят на последнюю цифру, на сумму цифр или на разность сумм цифр. Ниже все признаки собраны в таблицу, объяснены на примерах и закреплены задачами с ответами.

Признаки делимости чисел: таблица

Запомните, что "делится" значит "делится нацело", без остатка. Число, которое делится на данное, называют кратным ему. Сначала самые простые правила, где достаточно взглянуть на конец числа.

Эти признаки изучают в 5 и 6 классах, а к 7 классу они нужны уже как рабочий инструмент: при сокращении дробей, разложении на множители и поиске наибольшего общего делителя.

Признаки на 2, 5 и 10

Эти три признака опираются на тот факт, что 10 делится на 2 и на 5. Любое число равно сумме десятков и единиц, а десятки всегда делятся и на 2, и на 5, и на 10. Значит, всё зависит только от последней цифры.

Число 3 482 делится на 2, потому что оканчивается на 2, но не делится на 5. Число 1 975 нечётное, зато делится на 5. Число 6 040 делится сразу на 2, на 5 и на 10. Отсюда видно: если число оканчивается нулём, оно делится на 10 и автоматически на 2 и на 5.

Признаки на 4 и 8

Число 100 делится на 4, а 1000 делится на 8. Поэтому разряды сотен (для 4) и тысяч (для 8) и все старшие не влияют на результат. Проверять нужно только "хвост" числа.

Для 4 берут две последние цифры. В числе 25 316 это 16, а 16 делится на 4, значит, и всё число делится. В числе 7 450 хвост 50, оно на 4 не делится. Для 8 берут три последние цифры: в числе 91 232 это 232 = 8 · 29, поэтому число кратно 8. Если делимость на 8 не очевидна, можно разделить трёхзначный хвост вручную: это быстрее, чем делить всё число.

Признаки на 3 и 9

Для 3 и 9 складывают все цифры. Если сумма делится на 3, то и число делится на 3; если сумма делится на 9, то число делится на 9. Если сумма большая, её можно сложить ещё раз.

Возьмём число 2 574. Сумма цифр 2 + 5 + 7 + 4 = 18. Она кратна и 3, и 9, поэтому 2 574 делится на оба числа: 2 574 : 9 = 286. А у числа 1 243 сумма цифр равна 10, оно не делится ни на 3, ни на 9.

Почему работает признак на 9

Любое число можно записать как сумму цифр, умноженных на разряды: 2 574 = 2 · 1000 + 5 · 100 + 7 · 10 + 4. Но 1000, 100 и 10 при делении на 9 дают остаток 1, потому что 999, 99 и 9 делятся на 9. Значит, всё число даёт тот же остаток, что и сумма его цифр. Те же рассуждения работают для 3, ведь 9 делится на 3.

Составные признаки: 6, 12, 15, 18, 25

Если делитель составной, его можно разложить на взаимно простые множители и проверить каждый отдельно. Взаимно простые - значит, без общих делителей, кроме единицы.

• На 6: число должно делиться на 2 и на 3. Для 3 168 это так: число чётное, сумма цифр 18.
• На 12: на 3 и на 4. Число 5 328: сумма 18, хвост 28 кратен 4, значит, делится.
• На 15: на 3 и на 5. Число 2 715 оканчивается на 5, сумма 15, делится.
• На 18: на 2 и на 9. Число 4 860 чётное, сумма 18, делится.
• На 25: две последние цифры 00, 25, 50 или 75.

Обратите внимание на ловушку: делимость на 4 и на 6 по отдельности не означает делимость на 24, так как у 4 и 6 есть общий множитель 2. Для 24 надо проверять делимость на 3 и на 8, у которых общих множителей нет.

Признак делимости на 11

Выпишите цифры числа и посчитайте отдельно сумму цифр на нечётных местах (первая, третья, пятая...) и на чётных. Найдите разность этих сумм. Если она равна 0 или кратна 11, число делится на 11.

Пример 1: 2 849. На нечётных местах 2 и 4, сумма 6; на чётных 8 и 9, сумма 17. Разность 17 - 6 = 11, число кратно 11: 2 849 : 11 = 259.

Пример 2: 70 631. Нечётные места: 7 + 6 + 1 = 14, чётные: 0 + 3 = 3. Разность 11, значит, число делится на 11: 70 631 : 11 = 6 421.

Пример 3: 123 456. Нечётные 1 + 3 + 5 = 9, чётные 2 + 4 + 6 = 12. Разность 3, на 11 число не делится. Считать места можно с любого конца, от этого изменится лишь знак разности, а кратность 11 нет.

Признаки на 7 и 13

В школьных учебниках эти признаки обычно не дают, но на олимпиадах они встречаются. Для 7: отбросьте последнюю цифру, удвойте её и вычтите из оставшегося числа. Если результат делится на 7, то и исходное число делится.

Проверим 343: отбрасываем 3, удваиваем и получаем 6, 34 - 6 = 28, а 28 делится на 7, значит, 343 = 7 · 49. Для 13 схема похожая, только последнюю цифру умножают на 4 и прибавляют: у числа 273 получаем 27 + 12 = 39, 39 = 13 · 3, так что 273 делится на 13.

Любопытный факт: 1001 = 7 · 11 · 13. Поэтому число вида abcabc (например, 481 481) всегда делится на 7, на 11 и на 13 одновременно.

Задачи с ответами

Попробуйте сначала решить задачи без калькулятора, пользуясь только признаками, а затем сверьтесь с решениями.

Задачи для самопроверки

1. Какие из чисел 2310, 1485, 3752, 8190 делятся на 2, на 3, на 5, на 9?
2. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в числе 47*, чтобы оно делилось на 3? А на 9?
3. Какую цифру надо подставить вместо * в числе 3*8, чтобы оно делилось на 12?
4. Делится ли на 11 число 918 273?
5. Сократите дробь 1485 / 2310 с помощью признаков делимости.
6. Делится ли число 111 111 на 3, на 7, на 11 и на 13?

Решения

1. 2310 - на 2, 3, 5 (сумма цифр 6, на 9 не делится). 1485 - на 3, 5 и 9 (сумма 18), нечётное. 3752 - только на 2 (сумма 17). 8190 - на 2, 3, 5 и 9 (сумма 18).
2. Сумма цифр 4 + 7 + * = 11 + *. Для 3 подходят 1, 4, 7. Для 9 нужна сумма 18, значит, * = 7: число 477.
3. Для 12 нужна делимость на 3 и на 4. Хвост *8 кратен 4 при * = 0, 2, 4, 6, 8. Сумма 3 + * + 8 = 11 + * должна делиться на 3, и среди этих цифр подходит только 4. Число 348 = 12 · 29.
4. Нечётные места: 9 + 8 + 7 = 24, чётные: 1 + 2 + 3 = 6. Разность 18 на 11 не делится, значит, число не кратно 11.
5. Оба числа оканчиваются на 5 и 0, делим на 5: 297 / 462. Суммы цифр 18 и 12 кратны 3, делим на 3: 99 / 154. Наконец, 99 = 9 · 11, а 154 = 14 · 11, делим на 11 и получаем 9 / 14.
6. Сумма цифр 6, значит, делится на 3. Для 11: нечётные 1 + 1 + 1 = 3, чётные тоже 3, разность 0, делится. Для 7 и 13: 111 111 = 111 · 1001 = 111 · 7 · 11 · 13, делится на все.

Где пригодятся признаки делимости

Чаще всего они нужны при сокращении дробей и приведении к общему знаменателю, как в задаче 5. Они помогают раскладывать числа на простые множители, находить НОД и НОК, проверять результат умножения или деления. Для проверки есть старый приём "проба девяткой": остаток от деления суммы цифр на 9 у произведения должен совпадать с остатком от произведения остатков сомножителей.

На экзаменах задания на делимость встречаются и в ОГЭ, и в ЕГЭ по математике (в профильном уровне это задачи на числа и их свойства). Подробнее о подготовке читайте в материале про подготовку к ОГЭ и ЕГЭ, а если ребёнку математика даётся непросто, посмотрите страницу про математику без страха. Дроби и проценты тесно связаны с этой темой: например, найти процент от числа проще, когда число легко раскладывается на множители. Задачи на разложение пригодятся и в теме квадратных уравнений.

Типичные ошибки

• Путают признак на 3 с признаком на 9: сумма цифр 12 даёт делимость на 3, но не на 9.
• Для 4 смотрят только на последнюю цифру. Число 22 оканчивается на чётную цифру, но на 4 не делится.
• Для 11 складывают все цифры вместо того, чтобы брать разность двух сумм.
• Считают, что 0 не делится ни на что. На самом деле нуль делится на любое число, кроме нуля.
• Объединяют признаки неверно: для 24 нельзя проверять 4 и 6, нужны 3 и 8.

Если сомневаетесь, проверьте ответ обычным делением: признаки нужны, чтобы работать быстро, а не вместо вычисления.

Частые вопросы

Какие признаки делимости надо знать наизусть?

Обязательно признаки на 2, 3, 5, 9 и 10, а также на 4 и 6. Признак на 11 желательно знать для олимпиад и профильной математики, а признаки на 7 и 13 нужны редко.

Как быстро проверить делимость на 3?

Сложите цифры числа и посмотрите, делится ли сумма на 3. Если сумма большая, например 29, складывайте дальше: 2 + 9 = 11, 1 + 1 = 2, значит, число не делится.

Как проверить делимость на 11?

Сложите цифры на нечётных местах, затем на чётных и вычтите меньшую сумму из большей. Если получилось 0, 11, 22 и так далее, число делится на 11.

В каком классе проходят признаки делимости?

Основные признаки изучают в 5 и 6 классах, а к 7 классу они используются в алгебре при разложении на множители. Признак на 11 в базовую программу обычно не входит.

Делится ли число на 6, если оно делится на 2 и 3?

Да. Числа 2 и 3 взаимно просты, поэтому число, кратное им обоим, кратно и их произведению 6. Так же можно поступать с любой парой взаимно простых делителей.